Số phức liên hợp của số phức $z=-5+4i$ là

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2,5\text{ km}$ về phía nam và $2\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,8\text{ km}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1,5\text{ km}$ về phía bắc và $3\text{ km}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0,6\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (coi như phẳng) có trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là $\text{km}$). Trên mặt đất, người ta xác định được một vị trí sao cho tổng khoảng cách từ vị trí đó đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Hỏi khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí đó bằng bao nhiêu $\text{km}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$, một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $3\text{ m}$ được dựng vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ với hai điểm $A(3;1;0)$ và $B(1;4;0)$. Giả sử rằng mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, trục $Oz$ hướng lên trên và mỗi đơn vị trên hệ trục tương ứng với $1\text{ m}$. Một trạm phát sóng được đặt tại điểm $M(5;6;5)$. Trạm phát sóng phát ra các sóng thẳng và truyền về mọi hướng nhưng khi gặp bức tường thì bị chắn lại vì vậy có một vùng sau bức tường không có sóng. Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều trong mặt phẳng $(Oxy)$ từ điểm $N(-6;-4;0)$ qua gốc tọa độ $O$ đến chân tường với vận tốc $0,8\text{ m/s}$. Tính thời gian theo giây từ lúc chất điểm bắt đầu đi vào vùng mất sóng đến lúc chất điểm chạm vào chân tường và quay về vị trí ban đầu, giả thiết độ dày của bức tường là không đáng kể (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 5. Mỗi căn nhà trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác $OAB.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }$, với hệ trục toạ độ $Oxyz$ thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), có $A^{\prime }(240;450;0)$ và $B^{\prime }(120;450;300)$. Biết chi phí lát gạch nền nhà là $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm hai mái nhà là $700.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, chi phí làm mặt trước và mặt sau nhà là $600.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí làm mỗi căn nhà là bao nhiêu triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 6. Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $A(0;4;5),B(3;0;5),C(3;4;0),D(3;4;5)$ và vị trí $M(a;b;c)$ trên đoạn thẳng $AB$ thỏa mãn tổng khoảng cách từ các điểm $A,B,C$ đến đường thẳng $MD$ lớn nhất. Khi đó giá trị $a+b+c$ bằng bao nhiêu?

Có bao nhiêu số phức $z$ đôi một khác nhau thỏa mãn $|z+i|=2$ và $(z-2{)}^4$ là số thực?

Trạm không lưu sân bay Đà Nẵng xây dựng hệ tọa độ $Oxyz$ (gốc $O$ đặt tại Đà Nẵng) để theo dõi vị trí các chuyến bay. Lúc 6h máy bay A xuất phát từ Đà Nẵng đến TPHCM theo tia $OA$ lần lượt hợp với ba tia $Ox;Oy;Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $800\text{ km/h}$. Mười phút sau máy bay B đi Hà Nội theo tia $OB$ hợp với ba tia $O{x}^{\prime };O{y}^{\prime };Oz$ các góc bằng nhau với vận tốc $900\text{ km/h}$ (hình vẽ minh họa). Tính khoảng cách (đơn vị km và làm tròn đến hàng đơn vị) giữa hai máy bay A và B lúc 6h30'.