Số người trong cộng đồng sinh viên đã nghe một tin đồn nào đó là $N=P\left(1-{\mathrm{e}}^{-0,15d}\right)$ trong đó $P$ là tổng số sinh viên của cộng đồng và $d$ là số ngày trôi qua kể từ khi tin đồn bắt đầu. Trong một cộng đồng 1000 sinh viên, cần bao nhiêu ngày để 450 sinh viên nghe được tin đồn?

Cho phương trình $27^{2x-3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}$ (1)

Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của ${}_6^{14}C$ là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử ${}_6^{14}C$ giảm đi một nửa. Một cây còn sống có lượng ${}_6^{14}C$ trong cây được duy trì không đổi, nhưng nếu cây chết thì lượng ${}_6^{14}C$ trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ và đo được tỉ lệ phần trăm lượng ${}_6^{14}C$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc cây còn sống là 75\%. Hỏi mẫu gỗ cổ đó đã chết cách đây bao nhiêu năm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Phương trình $4^{1-2x}=8^{-2x}$ có nghiệm là

(1,5 điểm) Giải các phương trình, bất phương trình sau:
a) $5^{x^2-x-4}=25$;
b) ${\log }_2(x-1{)}^2={\log }_2(x+5)$;
c) ${\log }_5(x+4)+\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{25}}(x-2{)}^4\ge 2{\log }_{25}(5x)$.

Biết phương trình $2^{x^2-3x}=16$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ ($x_1<x_2$). Giá giá trị của biểu thức $S=x_1+507x_2$ bằng bao nhiêu?

Biết phương trình $2^{x^2-3x}=16$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ ($x_1<x_2$). Giá giá trị của biểu thức $S=x_1+507x_2$ bằng bao nhiêu?