Phương trình chính tắc của $(E)$ có độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $4\sqrt{3}$ là:

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ dài trục lớn là $2a$, trục nhỏ là $2b$ với $a>b>0$. Theo đề: $2a=2\cdot 2b\Rightarrow a=2b$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{3}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$, nên $c^2=12$. Ta có $c^2=a^2-b^2=4b^2-b^2=3b^2=12\Rightarrow b^2=4\Rightarrow b=2$, suy ra $a=4$, $a^2=16$. Vậy phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ (trường hợp trục lớn trên trục $Ox$; nếu trục lớn trên trục $Oy$ thì $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$). Thường đáp án chuẩn là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.