Nếu ${\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=5$ thì ${\int }_{-1}^{2}4f(x)\mathrm{d}x$ bằng:

Để tham gia lễ hội hóa trang, bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol $(P_1),(P_2)$ lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ $O$ và điểm $I(0;12)$, cùng nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm $M(15;18)$. Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài $1\text{ cm}$. Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là $2\sqrt{2}\text{ cm}$ và $4\sqrt{2}\text{ cm}$ để khoét làm mắt (minh họa như hình vẽ dưới đây).

Công đoạn cuối cùng là tô màu xám cho một mặt của mặt nạ. Tính diện tích cần tô màu theo đơn vị ${\text{cm}}^2$.

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $[1;2]$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên $[1;2]$ thỏa mãn $F(1)=-2$ và $F(2)=4$. Khi đó ${\int }_1^{2}f(x)\text{d}x$ bằng.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^2\left(f(x)+3x^2\right)\text{d}x=10$. Tính ${\int }_0^{2}f(x)\text{d}x$

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Khi đó hiệu số $F(1)-F(2)$ bằng

Cho biết ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)\mathrm{d}x=-2$. Tính tích phân $I={\int }_0^2[2x+f(x)-2g(x)]\mathrm{d}x$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{rlrl}& -3x^2+2& & \text{khi }x>1\\ & \frac{1}{x-2}& & \text{khi }x\le 1\end{array}$. Biết ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)\cos x\mathrm{d}x-3{\int }_0^{1}f(3-2x)\mathrm{d}x=a+b\ln 2$, với $a,b$ là các số nguyên. Giá trị của $a+15b$ bằng