Nếu ${\int }_0^{2}f(x)dx=3$ thì ${\int }_0^2[f(x)+2x]dx$ bằng

Cho $f(x)$ là một hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\cos x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{2}$ bằng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P_1):y=-x^2+6x-5$ và đường thẳng $d:y=x-1$. Một parabol $(P_2)$ có đỉnh $S(a;b)$ ($a\in (0;6)$) cùng với $(P_1)$ đi qua các giao điểm của $(P_1)$ và $d$, đồng thời $(P_2)$ đi qua điểm $M(0;-6)$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$; gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết rằng, $S_1=S_2$. Tính giá trị của biểu thức $T=a^3-12a^2+108a$.

Cho ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_0^{2}g(x)\mathrm{d}x=-1$. Tích phân ${\int }_0^2[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$ bằng

Tích phân ${\int }_0^2(3x^2+1)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có hai điểm cực trị $x=0$, $x=2$ và đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị $a{\int }_{-1}^0(f(x)+2)(x^2-2x)\mathrm{d}x$ bằng