Một trường trung học phổ thông có 500 học sinh, trong đó có 201 học sinh nam và 299 học sinh nữ. Tổng kết học kỳ I, có 160 học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi, trong đó có 72 học sinh nam và 88 học sinh nữ. Chọn ra ngẫu nhiên một học sinh trong số 500 học sinh đó. Tính xác suất để học sinh được chọn có danh hiệu học sinh giỏi và là nam (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một hộp có 16 bi đỏ và 10 bi xanh, trong đó có 10 bi được đánh số gồm 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Xét các biến cố sau:
$A$: “viên bi được lấy ra có màu đỏ”; $B$: “viên bi được lấy ra có đánh số”;
$\overline{A}$: “viên bi được lấy ra có màu xanh”; $\overline{B}$: “viên bi được lấy ra không có đánh số”.
Khi đó:

Cho tập $H=\left\{n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\mid n\le 100\right\}$. Chọn ngẫu nhiên ba phần tử thuộc tập $H$. Tính xác suất để chọn được ba phần tử lập thành một cấp số cộng.

Một hộp đựng 10 chiếc thẻ được đánh số từ 0 đến 9.

Cho tập M gồm các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập $\{0;1;2;3;4;5\}$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn có chữ số hàng trăm nhỏ hơn chữ số hàng chục.

Năm 2025 là một năm đặc biệt đối với người yêu toán học, vì 2025 là một số chính phương (tạm gọi là “năm chính phương”), và đây cũng là năm chính phương duy nhất của thế kỷ 21; muốn có được năm chính phương tiếp theo, ta phải chờ thêm 91 năm nữa, tức là năm 2116. Để chào đón năm chính phương đặc biệt này, một thầy giáo dạy toán đã gọi hai em học sinh lên bảng và cho mỗi em viết ngẫu nhiên một số chính phương mà em biết từ 1 đến 2025. Xác suất để hai em viết ra hai số chính phương giống nhau và đều là số chia hết cho cả 3 và 5 bằng $\frac{m}{n}$ với $m,n\in \mathbb{I}$ và $\frac{m}{n}$ tối giản (biết cả hai em học sinh đều viết đúng số chính phương của mình và khả năng xuất hiện mỗi số chính phương là như nhau). Tính $2m+3n$.

Hai người tham gia một trò chơi di chuyển theo cạnh của các ô hình vuông như trong hình (hình có $15\times 8$ ô hình vuông nhỏ)



Người thứ nhất đi từ điểm $A$ đến điểm $B$, người thứ hai đi từ điểm $E$ đến điểm $F$. Biết rằng cả hai người cùng đi ngẫu nhiên và theo con đường ngắn nhất. Tính xác suất để cả hai người cùng đi qua điểm $I$ (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).