Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với $Ox$ tại điểm $x$ $(1\le x\le 4)$ cắt một vật thể có dạng tam giác đều cạnh bằng $x$. Thể tích của vật thể đó bằng bao nhiêu?

Tính thể tích $V$ của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=-1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(-1\le x\le 3)$ thì thiết diện là một hình tam giác đều có độ dài cạnh bằng $\sqrt{x^2+x+1}$. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $(N)$ và khối trụ $(T)$ biết rằng chúng có cùng chiều cao 4 dm, hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng 2 dm, đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Mái của một nhà thi đấu rộng $20m$ và dài $60m$ được kéo theo dạng vòm parabol. Hỏi thể tích không khí tăng thêm bao nhiêu $m^3$ nếu chọn chiều cao đỉnh mái $10m$ thay vì phương án ban đầu là $8m$?

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh bằng $2\sqrt{9-x^2}$.

Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=\pi$, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le \pi )$ là một tam giác đều có diện tích $\sqrt{3}\sin x$.

Trong không gian $Oxyz$, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$. Biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(0\le x\le 3)$ là một hình vuông cạnh là $\sqrt{9-x^2}$. Tính thể tích $V$ của vật thể.