Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6\text{ m}$; $AE=5\text{ m}$; $AD=8\text{ m}$; $QT=7\text{ m}$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\text{ m}$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  2;3;1 , B  2;1;0  , C  3; 1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích hàng thang ABCD gấp bốn lần diện tích tam giác ABC.  D 13; 3; 4   D 13;9; 2 

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;0;0)$, $B(1;2;0)$. Xét điểm $C$ thuộc trục $Oz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$. Biết rằng khi $C$ thay đổi thì $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính của đường tròn đó bằng

Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau:

Người ta thiết kế một bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $M$ kéo đến điểm $N$ rồi nối đến bóng đèn. Độ dài dây cấp điện cho bóng đèn tối thiểu bằng $29\text{ (m)}$.

Một bể cá cảnh có mô hình bên trong là hình hộp chữ nhật $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AD=4\text{dm},AB=8\text{dm},A{A}^{\prime }=4\text{dm}$. Trong quá trình thay nước cho bể cá người ta rút bớt nước trong bể, phần nước còn lại khi nghiêng bể thì người ta thấy bề mặt thoáng của nước trong bể là tứ giác $CBHK$, trong đó $H,K$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime },D{D}^{\prime }$, (tham khảo hình vẽ 1). Sau khi bể nước được đặt trở lại vị trí thăng bằng thì mặt thoáng của nước trong bể là tứ giác $MNPQ$, toàn bộ khối được đặt trong hệ trục toạ độ $Oxyz$ như hình vẽ 2; gốc $O$ trùng với $A$, tia $Ox$ trùng với tia $AD$, tia $Oy$ trùng với tia $AB$, tia $Oz$ trùng với tia $A{A}^{\prime }$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát $300\text{ m}$ về phía Nam và $100\text{ m}$ về phía Đông, đồng thời cách mặt đất $100\text{ m}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $200\text{ m}$ về phía Bắc và $100\text{ m}$ về phía Tây, đồng thời cách mặt đất $50\text{ m}$. Cùng thời điểm đó, một người đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc khinh khí cầu nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí người đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc khinh khí cầu là nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ vị trí người quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc khinh khí cầu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):y-2=0$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4-t\\ z=2\end{array}$ và hai điểm $A(-2;-6;22)$, $B(1;0;16)$. Hai điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn cách đường thẳng $d$ một khoảng bằng $2$ và $NA=2NB$. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm $M$ và $N$ bằng bao nhiêu?