Một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng $\left(x\in {\mathbb{N}}^{\ast };1\le x\le 7000\right)$. Chi phí sản xuất bình quân cho mỗi sản phẩm (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi hàm $$G(x)=2x+270.$$ Người ta xây dựng hàm doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) của doanh nghiệp theo công thức $$F(x)=x^3-20487x^2+139929570x-318539780000.$$ Giả sử toàn bộ sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được $\ge 100$ triệu đồng?

Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ vị trí $A$ trên bờ biển đến vị trí $B$ trên hòn đảo. Biết rằng khoảng cách từ điểm $B$ đến bờ biển là $BH=8$ km, $AH=12$ km (tham khảo hình vẽ). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 6 tỷ đồng mỗi ki-lô-mét và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 15 tỷ đồng mỗi ki-lô-mét. Qua tính toán, công ty đã xác định được vị trí điểm $C$ trên đoạn thẳng $AH$ để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ACB$ có chi phí bỏ ra thấp nhất là $a$ tỷ đồng. Hỏi giá trị của $a$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Biết rằng khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là $BH=8km$, $AH=12km$ (tham khảo hình vẽ). Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 6 tỷ đồng mỗi ki-lô-mét và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 15 tỷ đồng mỗi ki-lô-mét. Qua tính toán, công ty đã xác định được vị trí điểm C trên đoạn thẳng AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ACB$ có chi phí bỏ ra thấp nhất là $a$ tỷ đồng. Hỏi giá trị của a bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $12cm$. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Hỏi x bằng bao nhiêu cm thì cái hộp nhận được có thể tích lớn nhất?

a) Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-3t^2+9t-2$, trong đó $t>0$ và tính bằng giây và $s$ là quãng đường chuyển động được của vật trong $t$ giây tính bằng mét. Vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
b) Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t)=1000+30t^2-t^3(0\le t\le 30)$. Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

Lưu lượng ô tô vào một đường hầm được cho bởi công thức $f(v)=\frac{290,4v}{0,36v^2+13,2v+246}$ (xe/giây), trong đó $v$ (km/h) là vận tốc trung bình của các xe khi vào đường hầm. Vận tốc trung bình của xe khi vào đường hầm là bao nhiêu km/h thì lưu lượng xe đạt lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một vòng dây kẽm có dạng đường tròn bán kính $R=\frac{6}{\pi }$dm. Người ta cắt vòng dây kẽm này rồi chia làm hai phần để uốn thành hai hình gồm một tam giác vuông cân và một hình bán nguyệt. Khi tổng diện tích hai hình trên đạt giá trị nhỏ nhất thì tỉ số giữa đoạn dây được uốn thành tam giác vuông cân đối với đoạn dây được uốn thành hình bán nguyệt bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?