Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường (theo đơn vị mét ($m$)) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian $t$ (theo đơn vị giây ($s$)) cho bởi phương trình là $s=-t^3+6t^2$. Tìm thời điểm $t$ mà tại đó vận tốc $v(m/s)$ của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất.

Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một con sông, người ta xây một cây cầu $EF$ bắc qua sông, biết rằng thành phố $A$ cách con sông khoảng 4 km và thành phố $B$ cách con sông khoảng 6 km (minh họa bằng hình vẽ), biết $HE+KF=20km$ và độ dài $EF$ không đổi. Hỏi độ dài đoạn $AE$ là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AEFB$)? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy $A$ và $B$. Máy $A$ làm việc trong $x$ ngày và cho số tiền lãi là $x^3+2x$ (triệu đồng), máy $B$ làm việc trong $y$ ngày và cho số tiền lãi là $326y-27y^3$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy $A$ trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy $A$ và $B$ không đồng thời làm việc, máy $B$ làm việc không quá 6 ngày).

Hai thành phố $A$ và $B$ cách nhau một con sông, người ta xây một cây cầu $EF$ bắc qua sông, biết rằng thành phố $A$ cách con sông khoảng 4 km và thành phố $B$ cách con sông khoảng 6 km (minh họa bằng hình vẽ), biết $HE+KF=20km$ và độ dài $EF$ không đổi. Hỏi độ dài đoạn $AE$ là bao nhiêu km để đường đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ là ngắn nhất (đi theo đường $AEFB$)? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy $A$ và $B$. Máy $A$ làm việc trong $x$ ngày và cho số tiền lãi là $x^3+2x$ (triệu đồng), máy $B$ làm việc trong $y$ ngày và cho số tiền lãi là $326y-27y^3$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp đó cần sử dụng máy $A$ trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy $A$ và $B$ không đồng thời làm việc, máy $B$ làm việc không quá 6 ngày).

Một tàu chở hàng đang đậu tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB bằng 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7km. Người lái tàu muốn chở hàng về kho phải đi thuyền từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4km/h rồi dùng xe đẩy hàng đến C với vận tốc 6km/h (xem hình vẽ dưới đây).



Khi hàng được chuyển đến kho nhanh nhất thì độ dài đoạn $BM.\sqrt{5}$ bằng bao nhiêu?

Một hồ nước nhân tạo được xây dựng trong một công viên giải trí. Trong mô hình minh họa bên dưới, nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{10}(-x^3+9x^2-15x+56)$. Đơn vị độ dài trên mỗi trục là 100m (Nguồn: A. Bigalke et al, Mathematik, Grundkurs ma-I, Cor-nelsen 2016). Trong công viên có một con đường chạy dọc theo bờ hồ có phương trình $y=-1,5x+18$. Người ta dự định xây dựng trên bờ hồ một bến thuyền đạp nước sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường này là ngắn nhất. Hỏi khoảng cách ngắn nhất từ bến thuyền đến con đường này là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị)