Mặt cầu ( S ) : ( x + y )= 2 xy − z 2 + 1 − 4 x có tâm là: 2

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=16$. Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Tại một khu nông trường công nghệ cao, người ta lắp đặt một bồn chứa dung dịch thủy canh có dạng hình cầu $(S)$. Để kiểm tra bề mặt của bồn chứa, một thiết bị bay không người lái (flycam) được lập trình để bay đến lơ lửng tại vị trí $A$. Từ $A$, flycam phát ra các tia quét laser để dò tìm lỗi bề mặt. Các tia quét này chạm (tiếp xúc) với bề mặt bồn chứa tại các điểm $M$. Sau khi hoàn thành thao tác quét tại $A$, flycam được lập trình bay thẳng về trạm sạc theo một quỹ đạo là đường thẳng $d$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị tính bằng mét), giả sử bồn chứa hình cầu có phương trình $(S):(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=9$, vị trí lơ lửng ban đầu của flycam là $A(2;-2;3)$ và quỹ đạo bay về trạm sạc nằm trên đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-3}{3}$.

Trong một căn phòng (được mô phỏng bởi hệ tọa độ $Oxyz$ với đơn vị độ dài là đề-xi-mét), người ta có treo một quả cầu trang trí với phương trình bề mặt là $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$. Một con nhện đang phục kích ở vị trí $T(-1;2;-10)$ trên trần nhà, nó phát hiện ra một con muỗi đang đậu trên bề mặt quả cầu tại vị trí $M(-1;-3;3)$. Nó quyết định tấn công bằng cách thả tơ rơi thẳng xuống, chạm vào bề mặt quả cầu $(S)$ tại một điểm $P$ (biết đường thẳng $TP$ là tiếp tuyến của mặt cầu). Ngay khi chạm vào quả cầu, nhện lập tức bò trên bề mặt $(S)$ bằng con đường ngắn nhất để bắt con muỗi. Biết tốc độ đu tơ của nhện là $4\text{ dm/s}$ và tốc độ bò trên bề mặt quả cầu là $1,5\text{ dm/s}$. Hãy tính thời gian ngắn nhất (giây) kể từ lúc nhện bắt đầu thả tơ cho đến khi bắt được muỗi. (*Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm*).

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc nhau và $OA=a,OB=2a,OC=3a$. Diện tích của mặt cầu $(S)$ ngoại tiếp tứ diện $OABC$ bằng:

Khối cầu $(S)$ có diện tích bằng $36\pi a^2{\text{ (cm}}^2\text{)},a>0$ thì có thể tích là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$. Mặt bên $(SAB)\perp (ABC)$ và $△SAB$ đều cạnh bằng $1$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$.