Giải các phương trình sau (đưa về phương trình tích):
a) ${\log }_{2}x+2.{\log }_{7}x=2+{\log }_{2}x.{\log }_{7}x$

b) ${\log }_{2}x.{\log }_{3}x+3=3.{\log }_{3}x+{\log }_{2}x$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$.

**a)** Đặt $a={\log }_{2}x$, $b={\log }_{7}x$. Phương trình trở thành
$$a+2b=2+ab\iff ab-a-2b+2=0\iff (a-2)(b-1)=0.$$
- $a=2\Rightarrow {\log }_{2}x=2\Rightarrow x=4$ (thỏa mãn).
- $b=1\Rightarrow {\log }_{7}x=1\Rightarrow x=7$ (thỏa mãn).

Thử lại: $x=4$: ${\log }_{2}4=2$, ${\log }_{7}4\ne 1$, VT $=2+2{\log }_{7}4=$ VP $=2+2{\log }_{7}4$ ✓. $x=7$: ${\log }_{7}7=1$, VT $={\log }_{2}7+2=$ VP $=2+{\log }_{2}7$ ✓.

Tập nghiệm: $S=\{4;7\}$.

**b)** Đặt $a={\log }_{2}x$, $b={\log }_{3}x$. Phương trình trở thành
$$ab+3=3b+a\iff ab-a-3b+3=0\iff (a-3)(b-1)=0.$$
- $a=3\Rightarrow {\log }_{2}x=3\Rightarrow x=8$ (thỏa mãn).
- $b=1\Rightarrow {\log }_{3}x=1\Rightarrow x=3$ (thỏa mãn).

Thử lại: $x=8$: ${\log }_{2}8=3$, VT $=3{\log }_{3}8+3=$ VP $=3{\log }_{3}8+3$ ✓. $x=3$: ${\log }_{3}3=1$, VT $={\log }_{2}3+3=$ VP $=3+{\log }_{2}3$ ✓.

Tập nghiệm: $S=\{3;8\}$.