Giải các bất phương trình sau: a) ${\log }_2(3x-1)>3$ b) $\ln x^2>\ln (4x-4)$ c) ${\log }_3(x^2-2x)>1$ d) ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)\le {\log }_{\frac{1}{2}}(2x-5)$ e) ${\log }_{2}x+{\log }_2(x+1)>1$ f) $2{\log }_3(4x-3)\le {\log }_3(18x+27)$ g) ${\log }_4(x-2{)}^2-1\le 0$ h) ${\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)-1>{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+6)$ i) $\log (x+1{)}^2-\log (2x+5)\le 0$ j) $\ln (x-1)+\ln (x+1)>\ln \left(4x-2x^2\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16: a) Điều kiện 3x-1>0. Bất phương trình tương đương 3x-1>8 ⟹ x>3. Tập nghiệm $(3;+\infty )$.

b) Điều kiện: $x\ne 0$ và $4x-4>0\Rightarrow x>1$. So sánh cùng cơ số: $x^2>4x-4\iff (x-2{)}^2>0\iff x\ne 2$. Kết hợp: $x>1,x\ne 2$, tức $(1;2)\cup (2;+\infty )$.

c) Điều kiện $x^2-2x>0$. Bất phương trình tương đương $x^2-2x>3\iff x^2-2x-3>0\iff (x-3)(x+1)>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$ (thỏa mãn điều kiện). Tập nghiệm $(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.

d) Cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên đảo chiều: $x+1\ge 2x-5\iff x\le 6$. Điều kiện: $x>-1$ và $x>\frac{5}{2}$. Kết hợp: $\left(\frac{5}{2};6\right]$.

e) Điều kiện $x>0$. ${\log }_{2}x+{\log }_2(x+1)>1\iff {\log }_2[x(x+1)]>1\iff x^2+x>2\iff (x-1)(x+2)>0\iff x>1$ (hoặc $x<-2$, loại). Tập nghiệm $(1;+\infty )$.

f) Điều kiện $4x-3>0\Rightarrow x>\frac{3}{4}$ (tự động có $18x+27>0$). Bất phương trình tương đương ${\log }_3(4x-3{)}^2\le {\log }_3(18x+27)\iff 16x^2-24x+9\le 18x+27\iff 16x^2-42x-18\le 0\iff 8x^2-21x-9\le 0$. Nghiệm phương trình: $x=\frac{21\pm \sqrt{441+288}}{16}=\frac{21\pm 27}{16}$, tức $x=-\frac{3}{8}$ hoặc $x=3$. Vậy $-\frac{3}{8}\le x\le 3$, kết hợp điều kiện: $\left(\frac{3}{4};3\right]$.

g) Điều kiện $x\ne 2$. ${\log }_4(x-2{)}^2\le 1\iff (x-2{)}^2\le 4\iff 0\le x\le 4$, kết hợp $x\ne 2$: $[0;2)\cup (2;4]$.

h) Cơ số $\frac{1}{2}<1$: $1-x<2x+6\iff x>-\frac{5}{3}$. Điều kiện: $x<1$ và $x>-3$. Kết hợp: $\left(-\frac{5}{3};1\right)$.

i) Điều kiện: $(x+1{)}^2>0\Rightarrow x\ne -1$ và $2x+5>0\Rightarrow x>-\frac{5}{2}$, ghép lại $x>-1$. Bất phương trình tương đương $(x+1{)}^2\le 2x+5\iff x^2\le 4\iff -2\le x\le 2$. Kết hợp: $(-1;2]$.

j) Điều kiện: $x>1$ (từ $x-1>0$, $x+1>0$) và $4x-2x^2>0\iff 0<x<2$. Khi đó $\ln (x^2-1)>\ln (4x-2x^2)\iff x^2-1>4x-2x^2\iff 3x^2-4x-1>0$. Nghiệm: $x=\frac{2\pm \sqrt{7}}{3}$. Vậy $x<\frac{2-\sqrt{7}}{3}$ (loại vì $x>1$) hoặc $x>\frac{2+\sqrt{7}}{3}\approx 1.55$ (thỏa $x<2$). Tập nghiệm $\left(\frac{2+\sqrt{7}}{3};2\right)$.