Giả sử mỗi tuần chi phí sản xuất $x$ sản phẩm của một xưởng được mô hình hóa bằng biểu thức $P(x)=0,5x^2+x+32$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x)=\frac{P(x)}{x}$ (triệu đồng). Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất?

Một túp lều có dạng hình chóp với đáy là hình thoi cạnh bằng 4m. Trong bốn mặt bên thì có hai mặt bên kề nhau là hai tam giác đều. Tính chiều cao của túp lều để khoảng không gian bên trong nó là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Người ta muốn lắp đặt một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí A đến kho chứa dầu đặt ở vị trí B qua một con sông rộng 2km, dài 6km. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí P là 4 tỷ VND/ 1km và chi phí lắp đặt ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ P đến kho chứa dầu tại vị trí B là 8 tỷ VND/1km (như hình vẽ dưới). Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất cần đặt vị trí P cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Người ta muốn lắp đặt một ống dẫn dầu từ nhà máy lọc dầu ở vị trí A đến kho chứa dầu đặt ở vị trí B qua một con sông rộng $2km$, dài $6km$. Chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu trên mặt đất để nối từ nhà máy lọc dầu đến trạm trung chuyển tại vị trí P là 4 tỷ VND/ $1km$ và chi phí lắp đặt ống dẫn dầu dưới dòng sông để nối từ P đến kho chứa dầu tại vị trí B là 8 tỷ VND/1km (như hình vẽ dưới). Hỏi để chi phí lắp đặt ít nhất cần đặt vị trí P cách nhà máy lọc dầu là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Chủ một trung tâm thương mại muốn cho thuê một số gian hàng như nhau. Người đó muốn cho thuê mỗi gian hàng với giá là $x$ triệu đồng $(x>0)$. Khi đó doanh thu của cửa hàng được biểu diễn theo hàm số $T(x)$. Tốc độ thay đổi doanh thu từ các gian hàng đó được biểu diễn bởi hàm số $T^{\prime }(x)=-10x+200$, trong đó $T^{\prime }(x)$ tính bằng triệu đồng. Biết rằng nếu giá thuê cho mỗi gian hàng là 10 triệu đồng thì doanh thu là 1,8 tỷ đồng. Tìm giá trị của $x$ (triệu đồng) để người đó có doanh thu là cao nhất?

Ông An muốn mua một chiếc ô tô. Ngõ từ đường vào sân nhà ông An hình chữ $L$.









Đoạn đường đầu tiên có chiều rộng bằng $x(m)$, đoạn đường thẳng vào sân chiều rộng $2,6(m)$. Biết kích thước xe ô tô như hình vẽ trên và để ô tô đi qua an toàn thì chiều rộng và chiều dài tương ứng của đoạn đường phải lớn hơn kích thước thiết kế của ô tô một khoảng, cụ thể là chiều dài là $5m$ còn chiều rộng là $2m$ (chiều dài x chiều rộng). Để tính toán và thiết kế đường đi cho ô tô từ ngõ vào sân, ông An coi ô tô nằm trọn trong một khối hộp chữ nhật có kích thước chiều dài là $5(m)$, chiều rộng $2m$. Chiều rộng của đoạn đường đầu tiên là $x=h(m)$ (giả thiết ô tô không đi ra ngã đường, không đi nghiêng và ô tô không bị biến dạng). Khi đó giá trị tối thiểu khi làm tròn đến hàng phần trăm của $h$ bằng bao nhiêu?

Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền ở vị trí $A$ đến vị trí $C$ trên một hòn đảo. Khoảng cách ngắn nhất từ $C$ đến đất liền là $BC=1km$, khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $4km$. Người ta chọn một vị trí điểm $S$ nằm giữa $A$ và $B$ để mắc đường dây điện đi từ $A$ đến $S$, rồi từ $S$ đến $C$ như hình vẽ dưới đây. Chi phí mỗi $km$ dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi $km$ trên diện đất ngầm dưới biển mất 5000 USD. Hỏi điểm $S$ phải cách $A$ bao nhiêu $km$ để chi phí mắc đường dây điện ít nhất?