Kỳ Thi Chọn Học Sinh Giỏi Toán 12 THPT Cẩm Xuyên 2024-2025 - Đề Số 4

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$ và $A^{\prime }(0;0;2)$. Điểm $M$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$ có tọa độ là

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x^3+6x^2-15x+4$ trên đoạn $[0;2]$ bằng

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x+5}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;2)$, $B(-2;2;-1)$. Diện tích tam giác $OAB$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;3;0)$ và $B(-1;2;2)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ là

Cho tứ diện $ABCD$ có $M,I$ lần lượt là trung điểm của $BC,DM$. Biểu diễn vec to $\overrightarrow{AI}$ qua ba vec to $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ ta được

Tổng 10 số hàng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng 3 là 175. Số hạng đầu của cấp số cộng này là

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$. Góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ bằng $60^0$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Đạo hàm của hàm số $y=x\sqrt{1-x^2}$ là

Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 25 em học khá môn Toán, 20 em học khá môn Ngữ văn và 6 em không học khá cả hai môn Toán và Ngữ văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp. Xác suất để chọn được một học sinh học khá cả hai môn Toán và Ngữ văn là

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Đường thẳng $AD$ cắt và vuông góc với đường thẳng $SB$ tại $D$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Giả sử mỗi tuần chi phí sản xuất $x$ sản phẩm của một xưởng được mô hình hóa bằng biểu thức $P(x)=0,5x^2+x+32$ (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là $f(x)=\frac{P(x)}{x}$ (triệu đồng). Cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình thấp nhất?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ Hàm số đã cho là

Cho bốn hàm số: $f(x)=x^3+3x$, $g(x)=\frac{1}{x}$, $h(x)=x^4$, $k(x)=x-{\sin }^{2}x$. Trong các hàm số đã cho có bao nhiêu hàm số không có cực trị?

Đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+x+3}{x-2}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng có phương trình

Bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2}\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{x+6}$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ trong đoạn $[-20;20]$ để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+12x+m$ có cực trị?

Cho hàm số $y=-x^3+6x^2-9$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;3;2)$, $B(1;6;6)$, $C(5;3;5)$, $D(10;19;-10)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f^{\prime }(x)$ như hình vẽ

Cho hàm số $y=\frac{mx+6}{x+m+1}$ với $m$ là tham số.

Cho hàm số $f(x)={\log }_2(x-1)$

Cho hàm số $f(x)=m{x}^3+m^2-4$ với $m$ là tham số. Tính tổng các giá trị $m$ để giá trị lớn nhất của $f(x)$ trên đoạn $[0;2]$ bằng 5.

Cho hàm số $y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{x^2-2x-m}$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng?

Bạn An dùng tấm bìa hình vuông cạnh $6dm$ cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ bằng nhau ở bốn góc để làm thành một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật không nắp. Thể tích lớn nhất của khối hộp đó là bao nhiêu $d{m}^3$?

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $\frac{{\log }_2(x-3)-1}{\sqrt{2^x-m}}<0$ có nghiệm?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, góc giữa $SB$ và $AC$ bằng $60^0$, $AB=3$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(0;-2;5)$. Điểm $M$ thay đổi thuộc $(Oxy)$. Giá trị nhỏ nhất của $AM+BM$ bằng bao nhiêu?

B. PHẦN TỰ LUẬN (10 điểm)

Bài 1. Trong trận thi đấu bóng bàn đơn nam giữa vận động viên An với vận động viên Bình, trận đấu gồm tối đa 5 set, người nào thắng 3 set sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Giả sử xác suất vận động viên An thắng mỗi set là $0,6$. Tính xác suất để vận động viên An giành chiến thắng chung cuộc.

Bài 2. a) Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^2}{2}-mx+\ln \left(x-1\right)$ đồng biến trên tập xác định.

b) Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2\left(x^2-x\right)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=f\left(x^2-6x+m\right)$ có 5 điểm cực trị?

Bài 3. a) Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A\left(1;2;3\right),B\left(2;1;4\right),C\left(7;4;5\right),D\left(2;1;8\right)$. Tìm tọa độ điểm $M\in \left(Oxy\right)$ sao cho $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|$ nhỏ nhất.

b) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với $\left(ABC\right)$, $SA=2a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB,AC$ theo $a$.

Bài 4. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $0\le a\le b\le c\le 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=\left(a^2-b^2\right)\left(b-c\right)+c^2\left(1-c\right)$$