Có bao nhiêu số nguyên dương $x,x\le 2021$ sao cho tồn tại số nguyên $y$ thỏa mãn $x(2^y+y-1)=2-{\log }_2{x}^x$?

Phương trình tương đương:
$x(2^y+y-1)=2-x{\log }_{2}x\iff 2^y+y-1=\frac{2}{x}-{\log }_{2}x$
$\iff 2^y+y=2^{{\log }_2(2/x)}+{\log }_2\left(\frac{2}{x}\right).$
Xét hàm số $f(t)=2^t+t$ có $f^{\prime }(t)=2^t\ln 2+1>0$, hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó: $y={\log }_2\left(\frac{2}{x}\right)=1-{\log }_{2}x\iff {\log }_{2}x=1-y$.
Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên ${\log }_{2}x$ phải là số nguyên, tức $x=2^k$ với $k\in \mathbb{Z}$.
Vì $x$ là số nguyên dương và $x\le 2021$:
$x\in \{2^0,2^1,2^2,\dots ,2^{10}\}=\{1,2,4,8,\dots ,1024\}$ (vì $2^{11}=2048>2021$).
Số các giá trị nguyên dương $x$ thỏa mãn là $10-0+1=11$ giá trị.
Chọn B.