Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $\frac{{\log }_3(x-2)-1}{\sqrt{3^x-m}}<0$ có nghiệm?

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $racext{log}_3(x-2)-1extsqrt{3}^x-m<0$ có nghiệm khi tồn tại $x$ với $x>2$, $3^x>m$ (mẫu xác định, dương) và $ext{log}_3(x-2)<1extLeftrightarrowx<5$. Vậy cần tồn tại $xextin(2;5)$ sao cho $3^x>m$. Trên $(2;5)$, $3^x$ nhận mọi giá trị trong $(9;243)$, nên điều kiện là $m<243$. Các giá trị nguyên dương $mextinextlbrace1,2,extdots,242extrbrace$ gồm 242 giá trị. Kiểm tra: với $m=242$, chọn $x$ gần 5 (ví dụ $x=4.99$) thì $3^x>242$ và $x<5$, bất phương trình có nghiệm; với $m=243$, cần $3^x>243extRightarrowx>5$, mâu thuẫn $x<5$, vô nghiệm.