Có bao nhiêu bộ số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $1\le x,y\le 2020$ và $(xy+2x+4y+8){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)\le (2x+3y-xy-6){\log }_2\left(\frac{2x+1}{x-3}\right)$?

Biến đổi các thừa số: $xy+2x+4y+8=(x+4)(y+2)$, và $2x+3y-xy-6=(2-y)(x-3)$. Bất phương trình trở thành $(x+4)(y+2){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)\le (2-y)(x-3){\log }_2\left(\frac{2x+1}{x-3}\right)$. Vì $1\le x,y\le 2020$ là các số nguyên, xét các điều kiện xác định và phân tích hàm số đặc trưng của hai vế, ta tìm được các trường hợp thỏa mãn dẫn đến tổng số 4034 bộ số nguyên $(x;y)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn A.