Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ có đồ thị như hình vẽ:



Biết rằng $x=1$ và $x=3$ đều là các điểm cực trị của hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ đồng thời $3f(1)=g(3)+1$, $2f(3)=g(1)+4$, $f(-2x+7)=g(2x-3)-1$ (*). Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn $[1;3]$ của hàm số $S(x)=f(x)g(x)-g^2(x)+f(x)-4g(x)+2$. Tính tổng $P=M-2m$.

Một hộ gia đình muốn xây dựng một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, thể tích $V=12{\text{ m}}^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công và vật liệu xây đáy là $500$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$, xây thành bể là $300$ nghìn đồng/${\text{m}}^2$. Gọi $x$ là chiều rộng của đáy bể, $h$ là chiều cao của bể ($x>0,h>0$, đơn vị: $\text{m}$).

Một Villa sinh thái nghỉ dưỡng thống kê được rằng: Nếu áp dụng mức giá $3$ triệu đồng/người/ngày thì mỗi tháng có $160$ khách đến nghỉ và mỗi khách sẽ nghỉ $10$ ngày. Nếu cứ tăng giá thêm $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ giảm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng giảm đi $2$ ngày. Ngược lại, nếu cứ giảm giá $500$ nghìn đồng/người/ngày thì hàng tháng số khách đến nghỉ sẽ tăng thêm $4$ người và thời gian lưu trú của mỗi khách cũng tăng thêm $2$ ngày.
Hỏi villa đó cần áp dụng mức giá bao nhiêu triệu đồng/người/ngày để lợi nhuận hàng tháng thu được là lớn nhất, biết tổng chi phí công ty phải chi cho một ngày lưu trú của mỗi người khách là $2$ triệu đồng và Sở văn hóa, thể thao và du lịch không cho công ty thu vượt quá $10$ triệu đồng/người/ngày.
(không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-2{)}^2,\forall x\in \mathbb{R}$. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;5]$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(-x)$ được cho bởi hình vẽ sau:

Điều kiện của tham số $m$ để bất phương trình $f(\sqrt{2-x^2})\le m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$ là

Cho hàm số $y=\frac{x+m^2}{x-1}$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[2;4]$ bằng 6.

Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=x+\frac{4}{x}$ trên đoạn $[1;3]$ bằng