Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$, điểm $M$, $H$ lần lượt thuộc cạnh $CD$, $AD$ sao cho $DM=2MC$ và $DH=2HA$. Gọi $E$ là giao điểm $DG$ cắt $BH$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $E$ song song $(ABC)$ cắt $BM$ tại $F$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$ theo $a$?

Cho tứ diện đều $MNPQ$ cạnh $2a$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $MNQ$, điểm $H$, $K$ lần lượt thuộc cạnh $PQ$, $MQ$ sao cho $QH=2HP$ và $QK=2KM$. Gọi $I$ là giao điểm $QG$ cắt $NK$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $I$ song song $(MNP)$ cắt $NH$ tại $J$. Tính độ dài đoạn thẳng $IJ$ theo $a$?

Câu 5. (2,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, điểm $C^{\prime }$ di động trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $A{C}^{\prime }$ và song song với đường thẳng $DB$, mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh $SB$, $SD$ lần lượt tại $B^{\prime }$, $D^{\prime }$.
a) Chứng minh rằng: $\frac{2SB}{S{B}^{\prime }}-\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=1$
b) Xác định vị trí của điểm $C^{\prime }$ trên cạnh $SC$ sao cho: $\frac{2B{B}^{\prime }}{S{B}^{\prime }}+\frac{3S{D}^{\prime }}{D{D}^{\prime }}+\frac{10S{C}^{\prime }}{C{C}^{\prime }}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 8 (1,0 điểm) Cho tứ diện $ABCD$ và $O$ là điểm bất kì nằm bên trong tam giác $BCD$. Qua điểm $O$ kẻ các đường thẳng song song với $AB,AC,AD$ theo thứ tự cắt các mặt phẳng $(ACD),(ABD),(ABC)$ lần lượt tại các điểm $M,N,P$. Giá trị của biểu thức $T=\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{AC}+\frac{OP}{AD}$ bằng bao nhiêu?

Cho ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ đôi một song song. Đường thẳng $a$ cắt các mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A,B,C$ sao cho $\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$ và đường thẳng $b$ cắt các mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$. Tỷ số $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Biết $AB\parallel CD$ và $AB=3CD$. Gọi $N$ là trung điểm cạnh $SB$ và $P$ là giao điểm của đường thẳng $DN$ với mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{PO}{PS}$ (viết kết quả ở dạng số thập phân).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap với $AB$ là đáy lớn và $AB=3CD$. Gọi $M$ là trung điểm $CD$, $P$ là điểm trên cạnh $SA$ thỏa $AP=3PS$, điểm $N$ trên cạnh $SB$ sao cho $2SB=7NB$. Gọi $I$ là giao điểm của $BC$ với mặt phẳng $(MNP)$. Tính $\frac{IB}{IC}$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)