Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AC$ và $BC$. Trên đoạn thẳng $BD$ lấy điểm $P$ sao cho $BP=2PD$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$.

b) Tìm giao điểm của đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(MNP)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$ nên $MN\parallel AB$. Do đó $MN\parallel (ABD)$ (vì $MN$ không nằm trong $(ABD)$). Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(ABD)$ có điểm chung $P$ (vì $P\in BD\subset (ABD)$). Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng $d$ đi qua $P$ và song song với $MN$ (đồng thời song song với $AB$ theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng). Vậy giao tuyến là đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ (và $MN$).

b) Xét mặt phẳng $(BCD)$: ta có $N\in BC\subset (BCD)$, $P\in BD\subset (BCD)$ nên $NP\subset (BCD)$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $CD$ cắt đường thẳng $NP$ tại một điểm $Q$ (vì $NP$ không song song với $CD$: $N$ là trung điểm $BC$, $P$ thỏa $BP=2PD$ nên $\frac{BN}{NC}=1\ne \frac{BP}{PD}=2$). Khi đó $Q=CD\cap NP\in (MNP)$ và $Q\in CD$, suy ra $Q$ chính là giao điểm của $CD$ và $(MNP)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) giao tuyến là đường qua $P$ song song, $AB\parallel MN$; b) $CD\cap (MNP)=CD\cap NP$.