Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông với cạnh huyền $BC=2$, tam giác $ABD$ đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Giả sử cạnh $AD=1$ và $H$ là trung điểm $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABD đều cạnh 1, H trung điểm AB nên DH⊥AB (câu a đúng). Vì (ABD)⊥(ABC), giao tuyến AB, DH⊂(ABD) và DH⊥AB nên DH⊥(ABC) (câu b đúng). Chiều cao DH=√3/2. Tam giác ABC vuông tại A (vì AB=1, BC=2) nên AC=√3, S_ABC=√3/2. Thể tích V=(1/3)·(√3/2)·(√3/2)=1/4≠1/3 (câu sai). Toạ độ: A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,√3,0), D(1/2,0,√3/2). AB có vecto u=(1,0,0), CD có vecto v=(1/2,−√3,√3/2), pháp tuyến chung n=u×v=(0,−√3/2,−√3), |n|=√15/2. Khoảng cách d=|AC·n|/|n|=(3/2)/(√15/2)=3/√15=√(3/5)≈0,775≠√(21/17)≈1,111 (câu d sai). Khớp đáp án nguồn ĐĐSS (mã đề 1117).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABD đều, H trung điểm AB nên DH là đường cao, DH⊥AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
(ABD)⊥(ABC) giao tuyến AB, DH⊂(ABD), DH⊥AB ⇒ DH⊥(ABC).
c) (AI giải đề cho tôi)
V=(1/3)·S_ABC·DH=(1/3)·(√3/2)·(√3/2)=1/4≠1/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách AB và CD tính bằng toạ độ là 3/√15=√(3/5)≈0,775, khác √(21/17).