Cho tứ diện $ABCD$ có $AC=a,BD=3a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Biết $AC$ vuông góc với $BD$. Tính $MN$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Mặt phẳng $(M{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt cạnh $BC$ của hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ tại $N$. Tính tỉ số $\frac{MN}{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Cho tứ diện $ABCD$. Xét điểm $M$ trên cạnh $AB$, điểm $N$ trên cạnh $BC$, điểm $P$ trên cạnh $CD$ sao cho $MA=2MB$, $NB=2NC$, $PC=2PD$. Mặt phẳng $(MNP)$ cắt cạnh $AD$ tại $Q$. Tỉ số $\frac{QA}{QD}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $C$, $F$ là điểm đối xứng với $B$ qua $C$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $E,F$ cắt $SA,SB$ lần lượt tại $M,N$. Khi $(\alpha )\parallel SC$, tính tỉ số $\frac{SM}{SA}+\frac{SN}{SB}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành với $AB=8,AD=7$. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}$. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $AB,AD$ lần lượt cắt $SB,SD$ tại $N,Q$. Mặt phẳng $(MNQ)$ cắt cạnh $SC$ tại $P$. Tính chu vi của tứ giác $MNPQ$.

Cho ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ đôi một song song. Hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau cắt ba mặt phẳng $(P)$, $(Q)$, $(R)$ lần lượt tại $A_1$, $A_2$, $A_3$ và $B_1$, $B_2$, $B_3$. Biết $A_1{A}_2=20cm$, $A_2{A}_3=30cm$, $B_1{B}_2=30cm$. Tính độ dài đoạn thẳng $B_2{B}_3$ (đo bằng đơn vị cm).

Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với $(EFMH)//(ABCD)$, $KC//HD$. Khối gỗ bị hỏng một góc (hình vẽ). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng $(P)$ đi qua $K$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$.



Gọi $I$ là giao điểm $BF$ với mặt phẳng $(P)$. Biết $FB=60$ cm, $HD=75$ cm, $KC=40$ cm. Độ dài $FI$ là bao nhiêu cm?