Cho tam thức bậc hai $f(x)=-x^2+2x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=-x^2+2x+3$, ${\Delta }^{\prime }=1+3=4>0$ nên hai nghiệm phân biệt $x=-1$ và $x=3$ (ý a đúng). Vì $a=-1<0$, tam thức dương trên $(-1;3)$ và âm ngoài khoảng, đúng như bảng xét dấu (ý b đúng). $f(x)>0\iff -1<x<3$, các nghiệm nguyên là $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm (ý c đúng). Với ý d: $g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1$. Để $g(x)-f(x)<0\forall x\in \mathbb{R}$ cần $\Delta <0$: $(m+1{)}^2-4(2m-1)<0\iff m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, tức $m\in \{2;3;4\}$ — chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 5 (ý d sai). Kết quả khớp đáp án chính thức ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }=1+3=4>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt $x=-1$, $x=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=-1<0$, $f(x)$ âm khi $x<-1$ hoặc $x>3$, dương trên $(-1;3)$, bằng 0 tại $x=-1$ và $x=3$ — đúng như bảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>0\iff -1<x<3$, nghiệm nguyên: $0,1,2$ — đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)-f(x)=-x^2+(m+1)x-2m+1<0\forall x$ khi $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m-1)=m^2-6m+5<0\iff 1<m<5$, cho $m\in \{2;3;4\}$: chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 5.