Cho tam giác $ABC$ có $\hat{B}=45^{\circ }$, $\hat{C}=75^{\circ }$ và $a=50$. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) bằng

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\hat{A}=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{50}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{50}{\sqrt{3}}\approx 28,868.$$

Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=4\cdot \frac{50}{\sqrt{3}}\cdot \sin 30^{\circ }\cdot \sin 22,5^{\circ }\cdot \sin 37,5^{\circ }.$$

Tính từng thừa số: $\frac{200}{\sqrt{3}}\approx 115,470$; $\sin 30^{\circ }=0,5$; $\sin 22,5^{\circ }\approx 0,38268$; $\sin 37,5^{\circ }\approx 0,60876$.

Suy ra
$$r\approx 115,470\cdot 0,5\cdot 0,38268\cdot 0,60876\approx 13,4503.$$

Làm tròn đến hàng phần mười ta được $r\approx 13,5$. Vậy chọn $\mathbf{D}$.