Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $E$ là trung điểm cạnh $BC$ và $F$ là trung điểm cạnh $AE$. Tính độ dài đoạn thẳng $DF$.

Sự di chuyển của một đội cứu trợ bão Yinxing tại một huyện của Philippines được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Đội cứu hộ đặt vị trí trạm cứu hộ tại điểm $A(x;0)$; đội phải di chuyển từ vị trí $A$ đến nhà văn hóa của huyện ở vị trí $B(12;-4)$ để đưa người bị nạn đến bệnh viện huyện ở vị trí $C(13;-6)$; sau khi hoàn thành xong nhiệm vụ họ quay trở về vị trí $A$. Tìm $x$ để quãng đường đội cứu trợ phải di chuyển là ngắn nhất.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(3;-4)$, $B(1;5)$ và $C(3;1)$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(4;0)$ và $B(0;3)$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O(0;0)$, $A(1;0)$, $B(1;3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M(2;1)$ và đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=2t\end{array}$ Tìm điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $MN=\sqrt{2}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{a}=(6;-8)$. Độ dài vectơ $\vec{a}$ bằng: