Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O(0;0)$, $A(1;0)$, $B(1;3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $M(2;1)$ và đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=2t\end{array}$ Tìm điểm $N$ thuộc đường thẳng $\Delta$ sao cho $MN=\sqrt{2}$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho vectơ $\vec{a}=(6;-8)$. Độ dài vectơ $\vec{a}$ bằng:

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ biết $A(1;3)$, $B(-2;-2)$, $C(3;1)$. Tính cosin góc $A$ của tam giác.

Có hai xã $A,B$ cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là $A{A}^{\prime }=500m$, $B{B}^{\prime }=600m$. Người ta đo được $A^{\prime }{B}^{\prime }=2200m$ như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí $M$ của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí $M$ là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét? ($l\grave{a}mtr\grave{o}nk\acute{\hat{e}}tquảđ\acute{\hat{e}}nh\grave{a}ngđơnvị$).

Cho ba điểm $A(-1;1),B(2;1),C(-1;-3)$.

a) Chứng minh $A,B,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác $ABC$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $A(1;-1)$ và $B(3;2)$. Tọa độ điểm $M$ thuộc trục $Oy$ để $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất là