Cho tam giác ABC biết các cạnh AB: 4x+y-12=0, đường cao BH: 5x-4y-15=0, đường cao AH: 2x+2y-9=0. Hãy viết phương trình hai cạnh và đường cao còn lại.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: Cho AB: 4x+y-12=0, đường cao BH: 5x-4y-15=0, đường cao AH: 2x+2y-9=0.

Bước 1: Tìm A và B.
- B nằm trên AB và BH: giải $\{\begin{array}{l}4x+y-12=0\\ 5x-4y-15=0\end{array}$, từ pt đầu $y=12-4x$, thay vào: $5x-4(12-4x)-15=0\Rightarrow 21x=63\Rightarrow x=3$, $y=0$. Vậy $B(3;0)$.
- A nằm trên AB và AH: $4x+(12-4x)$... thay $y=12-4x$ vào $2x+2y-9=0$: $2x+24-8x-9=0\Rightarrow -6x=-15\Rightarrow x=\frac{5}{2}$, $y=2$. Vậy $A\left(\frac{5}{2};2\right)$.

Bước 2: Cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH nên có vtpt là vtcp của BH: ${\vec{n}}_{AC}=(4;5)$. AC: $4x+5y+c=0$; thay A: $10+10+c=0\Rightarrow c=-20$. Vậy $AC:4x+5y-20=0$.

Bước 3: Cạnh BC đi qua B và vuông góc với AH nên có vtpt là vtcp của AH: ${\vec{n}}_{BC}=(1;-1)$. BC: $x-y+c=0$; thay B: $3+c=0\Rightarrow c=-3$. Vậy $BC:x-y-3=0$.

Bước 4: $C=AC\cap BC$: từ $x=y+3$ thay vào AC: $4(y+3)+5y-20=0\Rightarrow 9y=8\Rightarrow y=\frac{8}{9}$, $x=\frac{35}{9}$. Vậy $C\left(\frac{35}{9};\frac{8}{9}\right)$.

Bước 5: Đường cao còn lại kẻ từ C, vuông góc với AB nên có vtpt là vtcp của AB: $\vec{n}=(1;-4)$. Đường cao: $x-4y+c=0$; thay C: $\frac{35}{9}-\frac{32}{9}+c=0\Rightarrow c=-\frac{1}{3}$. Vậy đường cao từ C: $x-4y-\frac{1}{3}=0$, tức $3x-12y-1=0$.

Kết quả: $AC:4x+5y-20=0$; $BC:x-y-3=0$; đường cao từ C: $3x-12y-1=0$.

Kiểm tra: AC qua A: $4\cdot \frac{5}{2}+5\cdot 2-20=0$ ✓; AC $\perp$ BH: $(4;5)\cdot (5;-4)=0$ ✓. BC qua B: $3-0-3=0$ ✓; BC $\perp$ AH: $(1;-1)\cdot (2;2)=0$ ✓. Đường cao qua C: $3\cdot \frac{35}{9}-12\cdot \frac{8}{9}-1=\frac{35}{3}-\frac{32}{3}-1=0$ ✓; vuông góc AB: $(1;-4)\cdot (4;1)=0$ ✓.