Cho số nguyên $n$ lớn hơn 3 và một đa giác đều $P$ có $2n$ đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác $P$ nếu tất cả các đỉnh của $P$ đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác. Tính số tam giác phủ đa giác $P$ tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác $P$.

Gọi $(I)$ là đường tròn nội tiếp đa giác $P$, ta thu được $2n$ tiếp điểm của $P$ với $(I)$.

Chọn ba cạnh của $P$ và gọi $A,B,C$ lần lượt là các tiếp điểm tương ứng theo chiều kim đồng hồ.

Gọi $x,y,z$ lần lượt là số khoảng giữa hai tiếp điểm liên tiếp khi đi từ $A$ đến $B$, $B$ đến $C$, $C$ đến $A$.

Khi đó $x,y,z$ là các số nguyên dương và $x+y+z=2n$.

Bây giờ ta cần điều kiện để ba đường thẳng đã chọn tạo thành một tam giác phủ $P$.

Giả sử hai tiếp tuyến tại $A,B$ cắt nhau tại $T$ thì $AIBT$ nội tiếp, khi đó từ việc tam giác phủ $P$ ta suy ra được $0<\angle ATB=180^{\circ }-\angle AIB=180^{\circ }-\frac{180^{\circ }x}{n}$ nên $x<n$. Tương tự ta có $y<n$ và $z<n$.

Ngược lại, giả sử $x,y,z<n$ thì tạo thành tam giác phủ $P$ vì khi đó 3 góc của tam giác đó là

$$180^{\circ }-\frac{180^{\circ }x}{n},180^{\circ }-\frac{180^{\circ }y}{n},180^{\circ }-\frac{180^{\circ }z}{n}$$

Vậy điều kiện cần và đủ là $x,y,z<n$.

Như thế, ta chỉ còn phải đếm các bộ số nguyên dương $(x,y,z)$ sao cho $x+y+z=2n$ và $x,y,z<n$.

Đặt $x^{\prime }=n-x$, $y^{\prime }=n-y$, $z^{\prime }=n-z$ thì $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }>0$ và $x^{\prime }+y^{\prime }+z^{\prime }=n$.

Ngược lại, mỗi bộ số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn $x+y+z=n$ xác định duy nhất một bộ $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$ thỏa mãn các điều kiện trên nên theo bài toán chia kẹo Euler, số cách là $C_{n-1}^2$.

Với một bộ có thứ tự $(x,y,z)$ cố định, có $2n$ cách chọn tiếp điểm đầu tiên $A$. Sau khi $A$ và $(x,y,z)$ đã được chọn thì $B,C$ hoàn toàn được xác định. Vì thế ta có $2n{C}_{n-1}^2$ cách chọn.

Trong cách chọn này, mỗi bộ xuất hiện đúng 3 lần nên số tam giác cần tìm là

$$\frac{2n{C}_{n-1}^2}{3}=\frac{2n}{3}\cdot \frac{(n-1)(n-2)}{2}=\frac{n(n-1)(n-2)}{3}.$$