Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\frac{1}{2}$ và $u_{n+1}=\frac{3-u_n^2}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ $(p,q)$, với $p<q$, thỏa mãn $p^{p^2}+(p+2{)}^{p^2}$ chia hết cho $q$ và $C_{3pq}^{pq}$ chia hết cho $pq$.

Cho số nguyên $n$ lớn hơn 3 và một đa giác đều $P$ có $2n$ đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác $P$ nếu tất cả các đỉnh của $P$ đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác. Tính số tam giác phủ đa giác $P$ tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác $P$.

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC<BC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.
a) Gọi $A_0,B_0,C_0$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $B_{0}O$ và $C_0{A}_0$, $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $C_{0}O$ và $A_0{B}_0$. Hai đường thẳng $XY$ và $B_0{C}_0$ cắt nhau tại điểm $Z$. Chứng minh đường thẳng $A_{0}H$ vuông góc với đường thẳng $A_{0}Z$.
b) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $B{B}_1,C{C}_1$. Chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_{1}HK$.

Xét hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)>0$ và
$$f(a)f(d)-f(b)f(c)=1$$
với mọi số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $ad-bc=1$.
a) Chứng minh $f(xy)=f(x)f(y)$ với mọi số thực $x$ và $y$.
b) Chứng minh $f(x)=x$ với mọi số thực $x$.