Đề Thi Học Sinh Giỏi thành phố và chọn đội tuyển HSG dự thi quốc gia các môn văn hóa lớp 12 THPT 2026-2027 - Môn Toán (Bảng B)

Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=\frac{1}{2}$ và $u_{n+1}=\frac{3-u_n^2}{2}$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố lẻ $(p,q)$, với $p<q$, thỏa mãn $p^{p^2}+(p+2{)}^{p^2}$ chia hết cho $q$ và $C_{3pq}^{pq}$ chia hết cho $pq$.

Cho số nguyên $n$ lớn hơn 3 và một đa giác đều $P$ có $2n$ đỉnh. Một tam giác được gọi là phủ đa giác $P$ nếu tất cả các đỉnh của $P$ đều nằm trong tam giác hoặc nằm trên cạnh của tam giác. Tính số tam giác phủ đa giác $P$ tạo bởi ba đường thẳng chứa ba cạnh của đa giác $P$.

Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC<BC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.
a) Gọi $A_0,B_0,C_0$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $B_{0}O$ và $C_0{A}_0$, $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $C_{0}O$ và $A_0{B}_0$. Hai đường thẳng $XY$ và $B_0{C}_0$ cắt nhau tại điểm $Z$. Chứng minh đường thẳng $A_{0}H$ vuông góc với đường thẳng $A_{0}Z$.
b) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $B{B}_1,C{C}_1$. Chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_{1}HK$.

Xét hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(1)>0$ và
$$f(a)f(d)-f(b)f(c)=1$$
với mọi số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $ad-bc=1$.
a) Chứng minh $f(xy)=f(x)f(y)$ với mọi số thực $x$ và $y$.
b) Chứng minh $f(x)=x$ với mọi số thực $x$.

Cho $P(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 5 sao cho có vô hạn cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn $xP(x)=yP(y)$ và $x\ne y$.
a) Chứng minh tồn tại số nguyên $C$ có tính chất: Nếu $(x,y)$ là cặp số nguyên thỏa mãn $x\ne y$ và $xP(x)=yP(y)$ thì $|x+y|\le C$.
b) Chứng minh $P(x)$ có nghiệm nguyên.

Cho số nguyên dương lẻ $n$. Một số nguyên dương $m$ được gọi là số tốt nếu $m^x+x^m$ chia hết cho $n^x+x^n$ với mọi số nguyên dương $x$.
a) Chứng minh nếu $m$ là một số tốt thì $m$ chia hết cho $n$.
b) Tìm tất cả các số tốt.

Cho 9 số thực $a_1,a_2,\dots ,a_9$. Khởi đầu với bộ 9 số thực $(a_1,a_2,\dots ,a_9)$.
Ở mỗi bước, từ bộ vừa được tạo $(x_1,x_2,\dots ,x_9)$, ta tạo ra một bộ mới $(y_1,y_2,\dots ,y_9)$ theo quy tắc sau: chọn các số ${ϵ}_1,\dots ,{ϵ}_9\in \{-1;1\}$ sao cho biểu thức $\left|\sum _{i=1}^9{ϵ}_i{x}_i\sqrt{i}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất (nếu có nhiều cách chọn, lấy một cách tùy ý), sau đó đặt $y_i=x_i+{ϵ}_i\sqrt{i}$ với mọi $i=1,2,\dots ,9$.
Chứng minh sau hữu hạn bước, sẽ xuất hiện một bộ $(u_1,u_2,\dots ,u_9)$ sao cho tồn tại chỉ số $i$ để $|u_i|\ge \frac{15}{2}$.