Cho phương trình $m{x}^2-(4m+1)x+4m+2=0$ $(1)$ với $m$ là tham số. Khi đó, tìm m để :
a) Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm trái dấu.
b) Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm âm.
c) Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1<1<x_2$.
d) Phương trình $(1)$ có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa $x_1<x_2<3$

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: $x=2$ luôn là nghiệm vì $4m-(8m+2)+4m+2=0$. Với $m\ne 0$, $\Delta =(4m+1{)}^2-4m(4m+2)=1>0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt; nghiệm còn lại $x_2=\frac{4m+2}{2m}=2+\frac{1}{m}$. Trường hợp $m=0$: $-x+2=0$ chỉ có một nghiệm $x=2$, không dùng cho các yêu cầu 2 nghiệm.

a) Hai nghiệm trái dấu $\iff P=\frac{4m+2}{m}<0\iff 4+\frac{2}{m}<0$. Với $m<0$: $2>-4m\iff m>-\frac{1}{2}$. Vậy $-\frac{1}{2}<m<0$. (Kiểm tra: $m=-\frac{1}{4}$ cho nghiệm $2$ và $-2$: đúng.)

b) Vì $x=2$ luôn là một nghiệm dương nên phương trình không thể có 2 nghiệm âm với mọi $m$. Kiểm tra bằng Viết: $S=4+\frac{1}{m}<0$ và $P>0$ dẫn đến mâu thuẫn ($m>0$ cho $S>0$; $m<0$ cần $m<-\frac{1}{2}$ cho $P>0$ nhưng $S<0$ cần $m>-\frac{1}{4}$). Vậy không tồn tại $m$.

c) $x_1<1<x_2\iff a\cdot f(1)<0$ với $f(1)=m+1$, $a=m$: $m(m+1)<0\iff -1<m<0$. (Đúng theo nghiệm: $2+\frac{1}{m}<1\iff -1<m<0$.)

d) Hai nghiệm là $2$ và $2+\frac{1}{m}$ ($m\ne 0$), cần cả hai $<3$: $2+\frac{1}{m}<3\iff \frac{1}{m}<1\iff m<0$ hoặc $m>1$. Khi đó hai nghiệm phân biệt, đều nhỏ hơn 3. Vậy $m<0$ hoặc $m>1$.