Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4)$; $B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(t^2;2t)$ trên $(P):y^2=4x$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=(t^2;2t+4)$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}\left|-6(2t+4)-8t^2\right|=\frac{1}{2}\left(8t^2+12t+24\right)$ (biểu thức trong giá trị tuyệt đối luôn dương vì $8t^2+12t+24>0$ với mọi $t$). Xét $f(t)=8t^2+12t+24=8{\left(t+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{39}{2}\ge \frac{39}{2}$, dấu bằng khi $t=-\frac{3}{4}$. Khi đó $x_C=t^2=\frac{9}{16}$, $y_C=2t=-\frac{3}{2}$. Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$ và diện tích nhỏ nhất $S_{\min }=\frac{1}{2}\cdot \frac{39}{2}=\frac{39}{4}$. Kiểm tra lại: $C$ thuộc parabol vì ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}$. Đáp án của AI khớp với kết quả giải độc lập.