Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(t^2;2t)$ trên $(P):y^2=4x$. Đường thẳng $AB$ qua $A(0;-4),B(-6;4)$ có hệ số góc $\frac{4+4}{-6-0}=-\frac{4}{3}$, phương trình: $4x+3y+12=0$.

Diện tích tam giác $ABC$ nhỏ nhất khi khoảng cách từ $C$ đến $AB$ nhỏ nhất:
$$d(C,AB)=\frac{|4t^2+6t+12|}{5}.$$
Xét $f(t)=4t^2+6t+12$ có đỉnh tại $t=-\frac{6}{2\cdot 4}=-\frac{3}{4}$, giá trị nhỏ nhất $f\left(-\frac{3}{4}\right)=4\cdot \frac{9}{16}+6\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)+12=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+12=\frac{39}{4}>0$, nên $|f|=f$.

Vậy $t=-\frac{3}{4}$, khi đó $x=t^2=\frac{9}{16}$, $y=2t=-\frac{3}{2}$.

Kiểm tra: $y^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}=\frac{9}{4}$ ✓. Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$, diện tích nhỏ nhất $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot \frac{39}{20}=\frac{39}{4}$.