Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4)$; $B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ thuộc $(P):y^2=4x$ nên viết $C(t^2;2t)$, $t\in \mathbb{R}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=(t^2;2t+4)$. Diện tích tam giác $ABC$: $$S=\frac{1}{2}\left|(-6)(2t+4)-8t^2\right|=\frac{1}{2}\left|-8t^2-12t-24\right|=4t^2+6t+12,$$ vì $8t^2+12t+24>0$ với mọi $t$ (delta $=144-768<0$). Ta có $4t^2+6t+12=4{\left(t+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{39}{4}\ge \frac{39}{4}$, dấu bằng khi $t=-\frac{3}{4}$. Khi đó $x=t^2=\frac{9}{16}$, $y=2t=-\frac{3}{2}$. Vậy $S_{\min }=\frac{39}{4}$ tại $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$. Kiểm tra: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}$, đúng thuộc $(P)$.