Cho đường tròn $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=25$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x+4y+1=0$ tại $A(1;-1)$. Tính $\frac{a}{b}$ biết rằng giá trị của $a<0$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(a;b)$, bán kính $R=5$. Vì $(C)$ tiếp xúc với $\Delta :3x+4y+1=0$ tại $A(1;-1)$ nên $IA\perp \Delta$, tức $\overrightarrow{IA}$ cùng phương với pháp tuyến $(3;4)$ và $|\overrightarrow{IA}|=5$. Suy ra $I=A\pm \frac{5}{5}(3;4)=(1\pm 3;-1\pm 4)$. Với dấu $+$: $I(4;3)$, loại vì $a=4>0$. Với dấu $-$: $I(-2;-5)$, thỏa $a<0$. Kiểm tra: $IA=\sqrt{3^2+4^2}=5=R$ và $3(1)+4(-1)+1=0$ nên $A\in \Delta$, đúng. Vậy $\frac{a}{b}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$.