Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Tham số hóa điểm $C$ trên parabol $(P):y^2=4x$ là $C\left(\frac{t^2}{4};2t\right)$, $t\in \mathbb{R}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{t^2}{4};2t+4\right)$. Diện tích tam giác $ABC$: $$S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|-6(2t+4)-8\cdot \frac{t^2}{4}\right|=\frac{1}{2}\left|-2t^2-12t-24\right|=\left|t^2+6t+12\right|.$$ Vì $t^2+6t+12=(t+3{)}^2+3>0$ với mọi $t$ nên $S=(t+3{)}^2+3$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $3$ khi $t=-3$. Khi đó $x_C=\frac{(-3{)}^2}{4}=\frac{9}{4}$, $y_C=2(-3)=-6$. Vậy $C\left(\frac{9}{4};-6\right)$. Kiểm tra lại: $C$ thuộc $(P)$ vì ${\left(-6\right)}^2=36=4\cdot \frac{9}{4}$, đúng.