Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
C thuộc $(P):y^2=4x$ nên viết $C(t^2;2t)$. Đường thẳng $AB$ qua $A(0;-4),B(-6;4)$ có hệ số góc $\frac{4-(-4)}{-6-0}=-\frac{4}{3}$, phương trình: $4x+3y+12=0$. Diện tích tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{2}AB\cdot d(C,AB)$, với $AB$ cố định nên $S$ nhỏ nhất khi khoảng cách từ $C$ đến $AB$ nhỏ nhất: $$d(C,AB)=\frac{|4t^2+6t+12|}{5}.$$ Xét $f(t)=4t^2+6t+12$ có đỉnh tại $t=-\frac{6}{2\cdot 4}=-\frac{3}{4}$, giá trị $f\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+12=\frac{39}{4}>0$, nên $|f(t)|=f(t)$ đạt nhỏ nhất tại $t=-\frac{3}{4}$. Khi đó $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$, kiểm tra: $y^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}$ đúng. Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$.