Cho parabol $(P):y^2=4x$ và hai điểm $A(0;-4);B(-6;4)$. $C$ là điểm trên $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ có diện tích bé nhất. Tìm tọa độ điểm $C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ thuộc $(P):y^2=4x$ nên gọi $C\left(\frac{t^2}{4};t\right)$ với $t\in \mathbb{R}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-6;8)$, $\overrightarrow{AC}=\left(\frac{t^2}{4};t+4\right)$. Diện tích tam giác $ABC$: $$S=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|(-6)(t+4)-8\cdot \frac{t^2}{4}\right|=\frac{1}{2}\left|2t^2+6t+24\right|=t^2+3t+12.$$ Xét $f(t)=t^2+3t+12$ có hệ số $1>0$ và biệt thức $\Delta =9-48=-39<0$ nên $f(t)>0$ với mọi $t$. Do đó $S=f(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=-\frac{3}{2}$. Khi đó $x_C=\frac{t^2}{4}=\frac{9/4}{4}=\frac{9}{16}$, $y_C=t=-\frac{3}{2}$. Vậy $C\left(\frac{9}{16};-\frac{3}{2}\right)$, diện tích nhỏ nhất $S_{\min }=\frac{9}{4}-\frac{9}{2}+12=\frac{39}{4}$. Kiểm tra: ${\left(-\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}=4\cdot \frac{9}{16}$, nên $C$ thuộc $(P)$. (Ghi chú: đề nguồn chỉ nêu câu hỏi, không có lời giải chính thức in trên trang; lời giải trên do AI thực hiện.)