Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có độ dài cạnh đáy bằng $4$, độ dài cạnh bên bằng $6$ (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ và $(ABC)$ bằng:

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):\frac{x-2}{3}+\frac{y-1}{2}+\frac{z-4}{-6}=1$ và $(Q):x+2y+3z+7=0$. Tính tang góc tạo bởi hai mặt phẳng đã cho.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P):2x+2y+z+5=0,(Q):2x+2y+z+1=0,(R):2x+2y+z+3=0$. Một đường thẳng $\Delta$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại $A,B,C$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=A{B}^2+\frac{216}{AC}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;3)$ và hai mặt phẳng $(P):x+2y-2z+1=0$, $(Q):2x-y+2z-3=0$. Phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x-4y+2z-1=0$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

Cho mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ và $(Q):mx+y-2z+1=0$. Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba mặt phẳng $(P):x-2y+2z+1=0$, $(Q):x-2y+2z-8=0$, $(R):x-2y+2z+4=0$. Một đường thẳng $\Delta$ thay đổi cắt ba mặt phẳng $(P),(Q),(R)$ lần lượt tại các điểm $A,B,C$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $AB+\frac{144}{A{C}^2}$ bằng