Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }A\perp (ABC)$, đáy là tam giác vuông cân tại $B$ và $AC=a\sqrt{2}$; cạnh bên $A{A}^{\prime }=a$. Gọi $N$ là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tính góc giữa đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):-x+2y+z-3=0$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại C, $AC=a\sqrt{2},BC=a$. Biết $SA\perp (ABC)$ và $SA=a\sqrt{3}$. Tính sin của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0),A(3;-4;2),B(-5;-2;1)$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trên một sườn núi (có độ nghiêng đều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0)$, $A(3;-4;2)$, $B(-5;-2;1)$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian $Oxyz$, với mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp $AB$ có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(2;-2;1)$. Tính góc giữa đường cáp $AB$ với mặt đất.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=4+2t\\ z=-3-t\end{array}$, $t\in \mathbb{R}$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $2x+y+z-1=0$. Khi đó: