Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là điểm trên đoạn $SD$ sao cho $SM=2MD$. Tan góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp có tất cả các cạnh bằng $a$ nên là hình chóp đều, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, hình chiếu của $S$ lên đáy là tâm $O$ của đáy.

Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$. Khi đó $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$ và
$$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}},$$
suy ra $S\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$.

Vì $M\in SD$ với $SM=2MD$ nên $M=\frac{S+2D}{3}$:
$$M=\left(\frac{a}{6};\frac{5a}{6};\frac{a}{3\sqrt{2}}\right).$$

Vector $\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{5a}{6};\frac{5a}{6};\frac{a}{3\sqrt{2}}\right)$, nên
$$B{M}^2=a^2\left(\frac{25}{36}+\frac{25}{36}+\frac{1}{18}\right)=\frac{52a^2}{36}=\frac{13a^2}{9}\Rightarrow BM=\frac{a\sqrt{13}}{3}.$$

Góc $\theta$ giữa $BM$ và $(ABCD)$ thỏa
$$\sin \theta =\frac{d(M,(ABCD))}{BM}=\frac{\frac{a}{3\sqrt{2}}}{\frac{a\sqrt{13}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{26}.$$

Vậy $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{1/\sqrt{26}}{5/\sqrt{26}}=\frac{1}{5}$, tức góc giữa $BM$ và $(ABCD)$ bằng $\arctan \frac{1}{5}\approx 11,3^{\circ }$ (kiểm tra: $\cos \theta =\sqrt{1-1/26}=5/\sqrt{26}$, đúng).