Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là tâm các hình vuông $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $ABCD$, $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $Q$ là trung điểm của $BC$ (minh họa như hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường thẳng $MN$ và $PQ$ bằng

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=2\sqrt{5}$ và $A{A}^{\prime }=2\sqrt{10}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ tới mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ theo $a$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $AB=a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, $AB=a$, $SC=a\sqrt{5}$. Khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng

Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $SO$ vuông góc với mặt đáy. Biết cạnh hình thoi bằng 2024, góc $\widehat{BAD}=120^{\circ }$, khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng bao nhiêu?

Một mô hình trang trí có dạng là hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cạnh bằng $10$ dm (như hình vẽ). Người ta cần nối một đường dây điện đi từ điểm $E$ (là trung điểm của $CD$) đi qua điểm $M$ thuộc cạnh $AD$, điểm $N$ thuộc cạnh $A{A}^{\prime }$ tới $B^{\prime }$. Độ dài đoạn dây điện ngắn nhất bằng bao nhiêu dm?