Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a$ và $A^{\prime }B=a\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

1) Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó. Một phân tử metan $C{H}_4$ được cấu tạo bởi bốn nguyên tử hydrogen ở các đỉnh của một tứ diện đều và một nguyên tử carbon ở trọng tâm của tứ diện (tham khảo hình vẽ).



Góc liên kết là góc tạo bởi liên kết H–C–H (góc giữa các đường nối nguyên tử carbon với hai trong số các nguyên tử hydrogen). Tính cosin của góc liên kết đó.

2) Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=3a$, $AC=5a$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ xuống mặt phẳng $(ABC)$ là trọng tâm tam giác $ABC$. Mặt bên $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ hợp với mặt đáy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Một khối trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính R và có đường cao h = R√2. Gọi A là một điểm trên đường tròn tâm O và B là một điểm trên đường tròn tâm O' sao cho OA vuông góc với O'B.
a) Chứng minh rằng các mặt bên của tứ diện OABO' là những tam giác vuông. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện OABO' và khối trụ.
b) Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua AB và song song với OO'. Tính khoảng cách giữa trục OO' và mặt phẳng $(\alpha )$.
c) Chứng minh rằng $(\alpha )$ là tiếp diện của mặt trụ có trục OO' và có bán kính đáy bằng $\frac{R\sqrt{2}}{2}$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, biết $AB=1cm$, $AC=3cm$ và $A^{\prime }B=5cm$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu centimet khối (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong cùng đơn vị đo, thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $S=8$ và chiều cao $h=3$ là:

Thể tích của khối hộp có diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$ là

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh bên $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$.