Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ , $\widehat{BAD}=120°$. Biết các đường thẳng $A^{\prime }A$, $A^{\prime }B$, $A^{\prime }C$ cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60°$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa $AD$ và mặt phẳng $(D^{\prime }MN)$

Cách 1.

(0.5 điểm)

Do $MN//A^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $A^{\prime }$ thuộc mặt phẳng $(D^{\prime }MN)$

Gọi $E=A^{\prime }M\cap AB$, $F=D^{\prime }N\cap DC\Rightarrow EF//BC//AD$ và $B,C$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AE,DF$. Suy ra $A,H,F$ thẳng hàng và $AF=\frac{3}{2}HF$. (0.5 điểm)

Ta có $AD//(D^{\prime }MN)\Rightarrow d\left(AD,(D^{\prime }MN)\right)=d\left(A,(A^{\prime }EF)\right)=\frac{3}{2}d\left(H,(A^{\prime }EF)\right)$.

Do $AH\perp BC\Rightarrow AH\perp EF\Rightarrow EF\perp (A^{\prime }HF)\Rightarrow (A^{\prime }EF)\perp (A^{\prime }HF)$

Trong tam giác $A^{\prime }HF$, kẻ $HK\perp A^{\prime }F\Rightarrow HK\perp (A^{\prime }EF)\Rightarrow d\left(H,(A^{\prime }EF)\right)=HK$ (0.5 điểm)

Ta có $A^{\prime }H=a,HF=2HA=\frac{2a\sqrt{3}}{3},\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{H{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{H{F}^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{3}{4a^2}$.

Suy ra $d\left(AD,(D^{\prime }MN)\right)=\frac{3}{2}HK=\frac{3a\sqrt{7}}{7}$. (0.5 điểm)

Cách 2.



Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho $I\equiv O(0;0;0),B\left(-\frac{a}{2};0;0\right),C\left(\frac{a}{2};0;0\right)$

$H\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{6};0\right),A\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2};0\right),A^{\prime }\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{6};a\right)$

Do $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $B^{\prime }\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{3};a\right),C^{\prime }\left(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{3};a\right)$;

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}\Rightarrow D^{\prime }\left(a;\frac{a\sqrt{3}}{6};a\right)$

$M,N$ lần lượt là trung điểm của $B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ nên $M\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a}{2}\right),N\left(\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{6};\frac{a}{2}\right)$

Ta có $\overrightarrow{MN}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D^{\prime }N}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a\sqrt{3}}{3};-\frac{a}{2}\right)$

Suy ra $\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{D^{\prime }N}\right]=\left(0;\frac{a^2}{2};-\frac{a^2\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{a^2}{6}\left(0;3;-2\sqrt{3}\right)$

Mặt phẳng $(D^{\prime }MN)$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left(0;3;-2\sqrt{3}\right)$

Phương trình mặt phẳng $(D^{\prime }MN):3y-2\sqrt{3}z+\frac{3a\sqrt{3}}{2}=0$

Do đó $d\left(AD,(D^{\prime }MN)\right)=d\left(A,(D^{\prime }MN)\right)=\frac{\left|\frac{3a\sqrt{3}}{2}+\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right|}{\sqrt{9+12}}=\frac{3a\sqrt{7}}{7}.$