Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=AD=2$ và $A{A}^{\prime }=2\sqrt{2}$ (tham khảo hình bên). Góc giữa đường thẳng $C{A}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $AB=3a$, $BC=\sqrt{3}a$; $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng đáy bằng

(2.0 điểm) Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB=1,AC=2$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ và $SA\perp (ABC)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SB,SC$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(AMN)$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{7}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình hình thoi tâm $O$ cạnh $a\sqrt{2}$ và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tính góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $\sqrt{5}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAD)$ bằng $30^{\circ }$. Gọi $E$ là trung điểm của cạnh $CD$, $H$ là hình chiếu của $A$ lên cạnh $BE$. Độ dài đoạn $SH$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$ và $SA\perp (ABC)$.
a) Chứng minh tam giác $SBC$ là tam giác vuông.
b) Biết rằng $AB=AS=a$, tính góc giữa đường thẳng $SB$ với mặt phẳng $(SAC)$.

Cho hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy ABCD là hình chữ nhật có $AB=2a,AD=2a\sqrt{3}$, hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên CC' tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Tính cosin góc tạo với $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$, (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục).