Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Đẳng thức nào dưới đây đúng.

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Gọi $I$ là điểm thuộc đoạn $C{C}^{\prime }$ thỏa mãn $IC=3.I{C}^{\prime }$, và $G$ là trọng tâm tứ diện $B{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Một kỹ sư thiết kế mô hình trang trí cho một sân khấu nổi có dạng hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ với độ dài các cạnh bằng 5 m. Để tạo ra nét độc đáo cho sân khấu, người kỹ sư muốn thiết kế một dàn đèn ánh sáng nối từ một điểm $M$ trên đoạn thẳng $A{D}_1$ xuống một điểm $N$ trên đoạn thẳng $BD$ thỏa mãn $AM=DN$. Dàn đèn ánh sáng có chiều dài ngắn nhất là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(5;-3;2)$, $B(2;1;-2)$. Gọi $M,N$ là hai điểm phân biệt thay đổi thoả mãn $BM=BN=2$ và $A,M,N$ thẳng hàng. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=2.AM+5.AN$ có dạng $7\sqrt{m}-n$ với $m,n$ là số tự nhiên. Tính giá trị $5m+n$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2;0;0)$, $B(0;3;1)$, $C(-3;6;4)$. Tìm điểm $M$ thuộc đoạn $BC$ sao cho $MC=2MB$. Tìm độ dài đoạn $AM$.

Cho hình chóp $S.OABC$ có đáy là $OABC$ là hình thang vuông tại $O$ và $A$; $SO$ vuông góc với mặt đáy; $AB=OA=\frac{1}{2}OC=SO=2$. Gọi $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $OC$, $SA$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(2;-1;2)$, $B(4;3;-2)$ và $C(5;-1;6)$.