Cho hàm số $y=x^3-3x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. a) Trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến → Đúng. b) $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$ nên điểm cực đại là $x=-1$ (không phải $x=1$) → Sai. c) Trên đoạn $[2;5]$ hàm đồng biến nên GTNN là $f(2)=8-6+1=3\ne 111$ (111 là GTLN $f(5)$) → Sai. d) $A(-1;3)$ (cực đại), $B(1;-1)$ (cực tiểu), $C(1;2)$. Vì $B,C$ cùng hoành độ $x=1$ nên $BC=|2-(-1)|=3$, khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $x=1$ là $h=2$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3<0$ với mọi $x\in (-1;1)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-1$, nên điểm cực đại là $x=-1$, không phải $x=1$ (điểm cực tiểu là $x=1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;5]$ hàm đồng biến nên GTNN là $f(2)=3$, còn $f(5)=111$ là GTLN.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(1;2)$. $BC=3$ (đoạn thẳng đứng), khoảng cách từ $A$ đến đường $x=1$ bằng 2, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$.