Cho hình chữ nhật $ABCD$ có tâm $O$ và $M$ là một điểm bất kì.

a) Hãy biểu thị $\overrightarrow{DO}$ theo hai vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$.

b) Chứng minh ${\overrightarrow{MA}}^2+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MO}$.

Cho hình bình hành $ABCD$, $M$ là trung điểm của $AB$, $DM$ cắt $AC$ tại $I$. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Cho tam giác $ABC$ và điểm $I$ thỏa mãn $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình chữ nhật $ABCD,AB=4a,AD=3a$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ACM$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho tam giác $ABC$ có $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$, $F$ là điểm thuộc cạnh $AC$ sao cho $AF=2FC$, $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $EF$.
a) Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
b) Gọi $P$ là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{PC}=-3\overrightarrow{PB}$. Phân tích vectơ $\overrightarrow{KP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.
c) Với điểm $M$ bất kì, dựng điểm $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.
d) Tìm tập hợp điểm $J$ sao cho $\left|\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}\right|=\left|\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}\right|$

Cho tam giác $ABC$, $M$ là một điểm xác định bởi: $\overrightarrow{BM}=3\overrightarrow{MC}$.
1) Chứng minh: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
2) Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABM$, phân tích véc tơ $\overrightarrow{BG}$ theo $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$.
3) $K$ là một điểm thuộc cạnh $AC$ thỏa mãn: $\overrightarrow{AK}=m\overrightarrow{AC}$ $(m\in R)$. Tìm m để ba điểm $B,G,K$ thẳng hàng.
4) Tìm tập hợp điểm $P$ sao cho $\overrightarrow{PA}.\overrightarrow{PB}=3P{B}^2$

Hai người muốn dùng dây kéo một khối gỗ nổi trên mặt nước đi dọc theo bờ sông (như hình vẽ minh họa). Người thứ nhất dùng lực kéo $\overrightarrow{F_1}$ có độ lớn là $400N$. Hỏi người thứ hai cần dùng lực kéo $\overrightarrow{F_2}$ có độ lớn bao nhiêu (Niu tơn) để kéo được khúc gỗ đi dọc theo bờ sông? (làm tròn đến hàng đơn vị).