Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $CD$.
a) Chứng minh $SM\perp AB$.
b) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.
c) Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$.

a) Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên tam giác $SCD$ cân tại $S$. Lại có $M$ là trung điểm $CD$. Do đó $SM\perp CD$. Mặt khác $AB\parallel CD$ nên $SM\perp CD$.
b) Xét tam giác $SAO$ vuông tại $O$ có $SO=\sqrt{S{A}^2-A{O}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Diện tích hình vuông $ABCD$ là $S=A{B}^2=a^2$. Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot a^2=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$.
c) Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD\Rightarrow AO\perp BD$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO\perp AO$. Do đó $AO\perp (SBD)\Rightarrow \mathrm{d}(A,(SBD))=AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.